何柏生：实证主义法学的数学解读
何柏生内容提要：实证主义法学是当今世界法学领域内的一个重要流派，它是在实证主义哲学基础之上创立的。实证主义哲学的产生与近代科学密切相关，而近代科学的核心是数学。所以，从数学角度对实证主义法学进行解读，会使人们对实证主义法学有更深的了解。实证主义法学是一种描述性的法学理论，重视逻辑分析方法和量化分析方法，摒弃法的价值，将法学的研究对象限定于实在法领域。实证主义法学的这些特性与数学的特性密不可分。近现代科学的发展是在数学引领之下取得的，实证主义法学的发展也需注重数学因素。
关键词：实证主义法学；数学；数学化；量化分析；科学
实证主义法学是近现代法学中的一个重要的流派，对法学、法律的发展影响巨大。实证主义法学是在实证主义哲学基础上产生的，没有实证主义哲学就没有实证主义法学。实证主义哲学的出现与近代自然科学的兴起有着密切的关系，而近代科学的发展离不开数学的引领。自从伽利略在科学研究中创立只描述不解释的新范式后，科学就开始突飞猛进地发展。数学先是影响了自然科学，然后影响了社会科学。迄今，科学的数学化仍在向前推进。在人类历史上，许多哲学流派的兴起都与数学的影响有关，许多哲学家的哲学观点也是在数学的启迪下产生的；没有数学，这个世界会荒凉许多。毕达哥拉斯的哲学离不开数学，柏拉图的哲学离不开数学，笛卡尔的哲学离不开数学，实证主义哲学也离不开数学，建立在实证主义哲学基础上的实证主义法学当然也离不开数学。对实证主义法学，国内已有多人研究过，出版的专著、发表的论文非常多。但是，从数学角度研究实证主义法学的论著似乎还没有。本文旨在使大家看到实证主义法学是怎样把数学这个“硬核”包裹在里面，在法学科学化进程中起到引领作用的。
在对实证主义法学进行数学分析时必须对实证主义法学概念作一界定。沈宗灵教授认为，从狭义上讲，实证主义法学又称分析实证主义法学，指各种分析法学派。从广义上讲，实证主义法学包括各种形式的社会学法学派和历史法学派，因此，社会学法学又被称为社会实证主义法学。从哲学上讲，所有资产阶级法学派别可归为两大类:一类是广义的实证主义法学，一类是自然法学或其他哲理法学派。李桂林、徐爱国教授认为，实证主义法学与法律实证主义同义，包括分析法学、历史法学和社会学法学；法律实证主义特指分析实证主义法学，指奥斯丁、凯尔森、哈特、拉兹和麦考密克等人的法学理论。本文用数学解读的主要是分析实证主义法学，一些地方也涉及社会学法学。
一、近代科学的数学化有着深刻的社会文化背景
科学是一种理性思考方式。在人类历史上，当理性思考方式占据主导地位时，往往是科学的大发展时期。但在很长时期内，理性在社会中并不占据统治地位。在伽利略生活的年代，欧洲各地人们了解自然和控制自然仍然主要是占星术士、炼金术士和神秘主义哲学家的事情。今天许多科学学科，最初不过是哲学中充满玄想的分支，如天文学、物理学、化学。即便在祛魅成功的今天，迷信依然统治不少人的思想。所以，在长期的历史阶段，尽管科学也得到了相当的发展，但从总体上来说，科学的发展还是很缓慢的。不过，正如乔治·萨顿所说:“科学的历史虽然只是人类历史的一小部分，但却是本质的部分，是唯一能够解释人类社会进步的那一部分。”
美国学者爱德华·O.威尔逊说过:“科学是有组织的、系统的行业，它搜集有关世界的知识，并将这些知识精简成可以检验的定律和原理。科学区别于伪科学的显著特征在于，首先，科学知识具有可重复性:同一现象可以重复研究，最好是通过独立的研究来进行。通过新颖的分析和实验，这一解释得到确证或被抛弃。其次，经济性:科学家试图将信息抽象为简单而优美的优雅形式，同时用最少的努力获取最多的信息。再次，可测量性:如果某种东西可以用人们普遍接受的标准予以恰当的测量，那么对它所作的概括就会很清晰……”科学的可测量性这一特征使科学能够与数学紧密结合起来，因为数学是量化的工具。霍奇森更是明确地指出:“科学的宽泛的定义可以说，科学是主要的定量知识的集合体，这些知识是人通过能动的努力，以系统的和可交流的方式理解他的周围事物和他自己而建立起来的。”定量知识需要数学术语表达。从这个角度来说，数学在科学中居于核心地位，因为没有数学，科学中的量化表达就无法做到，科学的可测量性就无法实现。正如孙小礼所说:“数学正是一门研究‘量’的科学，它不断地在总结和积累量的规律性，因而必然成为人们认识世界的有力工具。”
数学是探索自然的一个重要学科。数学是科学的一个重要领域，而科学探讨必然会引起数学问题，所以，科学的数学化是必然会发生的事情，不过是迟早的问题。当然，科学的数学化虽然从很早的时候就开始了，比如毕达哥拉斯提出“万物皆数”的理论就意味着科学的数学化，但那时无论是数学还是科学都不够发达，科学的数学化程度很低，远远不能与近代社会科学的数学化程度相比。近代科学的数学化，具有深刻的社会文化背景。
首先，古希腊学者为科学的数学化奠定了基础。古希腊许多哲学家都是科学家，甚至是数学家，如泰勒斯、阿那克西曼德、毕达哥拉斯、阿那克萨哥拉、德谟克利特、芝诺、柏拉图、亚里士多德等人。泰勒斯是古希腊第一位哲学家、数学家，命题证明的思想就是泰勒斯引入的，这是数学史上划时代的创造。毕达哥拉斯是继泰勒斯之后又一位伟大的哲学家、数学家，提出了“万物皆数”的哲学命题，揭开了科学数学化的序幕。传说，毕达哥拉斯通过一铁匠铺，发现不同大小的锤子敲打铁砧发出的声音不同，经过试验研究，毕达哥拉斯发现了音程之间数的关系，认为弦振动与它所产生音律的音调之间存在关系，例如，弦如果长度减半，就会奏出一个高八度音；如果缩短到三分之二，就会奏出一个第四音。所以，决定不同谐音的是某种数量关系，同物质构成没有关系。毕达哥拉斯发现的和声学定律是用数学术语表达自然规律的第一个范例，由此，毕达哥拉斯推而广之，认为万物之间存在差异的原因取决于数量关系，而与物质组成成分无关。当时，科学还不发达，提出万物皆数理论在很大程度上带有臆测成分，但认定事物遵循的规律是数学的，这无疑是正确的。此乃毕达哥拉斯对数学的一个重大贡献，极大地影响了科学的发展，因为近现代科学发展正是沿着这一趋势而来。正是由于毕达哥拉斯思想的伟大，法国学者若弗·马泰伊才说:“应该承认，毕达哥拉斯的思想统领着西方思想的一半……”黑格尔甚至“把毕达哥拉斯视为‘全球第一位大师’，承认自己对他那种生气勃勃的团体佩服的五体投地”。
在科学数学化发展历程中，柏拉图也作出了巨大贡献。柏拉图不像一般的数学家，既没有发现某个数学定理，也没有解决某个数学难题。若以此作为标准，柏拉图算不得数学家，但就其对数学的贡献来说，柏拉图是数学界中的伟人，因为他解决了数学中至关重要的一些问题。在柏拉图时代，数学已经有不少成就了，但数学仍然是经验结果与零碎片段的集合体，缺少体系化的理论。柏拉图是哲学家，他给数学注入了哲学的品性，而这种品性恰恰是数学在发展过程中亟待需要的。苏格拉底反对古希腊智者们的相对主义，开始为事物寻求定义。苏格拉底在哲学上的一大贡献就是实现了把哲学从研究自然到研究自我的转向，由注重对自然本身的研究转向到注重对社会伦理和人的研究，使哲学从关注天上转向关注人间。苏格拉底讨论的一大主题是如何为伦理道德下定义的问题。柏拉图从苏格拉底那里学得给事物下定义的方法，用来研究数学，“坚持对数学的基础概念进行最仔细的研究，导致数学的定义与公理的更加严格、更加明确的公式化。无论柏拉图是否实际完成了多少这一工作，无可置疑的是，他在这一事物上的影响力都是几何学重建的一个决定性因素，这一重建不久就在欧几里得的《原本》中收获了如此精确全面的公式化”。柏拉图发现数学知识具有永恒不变的、普遍必然的、客观的特性，因此将数学引入哲学，认为数学是从对具体事物的感觉经验上升到对理念知识之间的桥梁和重要手段。到了后期，柏拉图甚至用几何学来构造整个宇宙世界，认为宇宙最初混沌杂乱，只有水、火、气、土的痕迹，神用形式和数将它们区分开来。水、火、气、土四元素的生成是由于神赋予它们最好的几何图形，即用两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半，由这两种三角形的不同组合产生四面体、六面体（正立方体）、八面体、十二面体和二十面体等五种正多面体。四面体对应火元素，正立方体对应土元素，八面体对应气元素，二十面体对应水元素，十二面体是神用来装饰宇宙的。四元素可以相互转化，是由于三角形现状不同以及它们组成的多面体的数目不同。柏拉图用几何学构造了整个宇宙世界，因此，在柏拉图的心目中，上帝是一位彻头彻尾的几何学家、数学家。所有技艺和科学都分有数学，数学要素成为一个事物作为知识的价值标准。正因为如此，波普尔才认为柏拉图是哥白尼、伽利略、开普勒、牛顿为代表的近代科学的奠基人，柏拉图的宇宙生成的几何结构理论是现代宇宙论的基础。科学家海森堡甚至认为现代物理学的倾向与其说是接近德谟克利特的，不如说是更接近《蒂迈欧篇》的。当然，还有一个重要原因，柏拉图在中世纪一直都是基督教推崇的哲学家，他对基督教影响最大的著作不是《理想国》而是《蒂迈欧篇》，他提出的世界几何结构理论就主要体现在《蒂迈欧篇》之中。柏拉图这种宇宙生成理论被基督教接受，直到12世纪《蒂迈欧篇》的思想仍然是基督教世界的主流思想。
其次，宗教为近代科学数学化设置了背景。近代科学的数学化始于西方。在科学的数学化过程中，宗教起了不可低估的作用。熟悉西方历史的人都知道，古希腊人对数学的发展作出过重要贡献。古罗马人虽然对法律的贡献巨大，但普遍对深奥的数学不感兴趣，也没出现过有影响的数学家。中世纪基督教一统天下，教会对数学相当鄙视，因为数学是理性的化身，而宗教恰恰重视的是信仰。但是，基督教对数学的发展也曾起过积极的促进作用，数学能在近代飞速发展与基督教的影响不可分割。科学史告诉我们，近代许多数学家，如哥白尼、韦达、开普勒、笛卡儿、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等都是虔诚的基督教徒。像牛顿这样的大数学家研究神学比研究科学花费的时间还要多，试图用“科学现象”证明上帝的存在，一生除发表《自然科学的数学原理》《光学》等科学著作，还留下五十多万字炼金术方面的手稿和一百多万字神学方面的手稿，甚至把研究神学“视为自己生活的主轴”。
早期的基督教认为上帝的存在是一个自明的事实，不需进行逻辑证明，教徒所关心的仅仅是如何通过心灵的修养找到上帝。被称为西方思想史上第一位经院哲学家的安瑟尔谟首先用理性证明了上帝的存在。而中世纪最有名的经院哲学家无疑要数托马斯·阿奎那，他的哲学以亚里士多德为根基，通过严密的逻辑推演，把古典哲学和基督教神学融合起来，把信仰和理性结合起来。在经院哲学中，最有名的逻辑推演是证明上帝的存在，阿奎那提出了上帝存在的五种证明法，认为“世界上的一切事物都是和谐的，有秩序的，仿佛是有目的的安排”。怀特海说过:“我们如果没有一种本能的信念，相信事物之中存在着一定的秩序，尤其是相信自然界中存在着秩序，那么，现代科学就不可能存在。”经院哲学家相信自然界存在秩序的思想，对于现代科学的产生和发展具有重要意义。其实，经院哲学家不但信奉理性、秩序，还信奉科学知识。阿尔伯特就曾说:“基督教思想家必须掌握各类哲学和科学知识。”经院哲学发展到后期，不但不排斥科学，在一定程度上已经在和科学拥抱了。中世纪基督教世界学校的课程里是有数学这门课程的，教会认为数学能够训练说理，能够修日历和预报节日。由于占星术属于数学的分支，在实际生活中能帮王公大人进行决策谋划、军事征战及个人事务等，所以，学习数学或占星术的人也不少。另外，中世纪的人们相信天体能够影响人的健康，于是，医生把人的出生、结婚、生病和死亡时出现的星座记录下来，预测医疗是否有效。因此，医生也成了深谙数学之人。
另外，十字军东征使欧洲人从阿拉伯人和拜占庭的希腊人那里得到了大量的希腊、阿拉伯数学著作，开始了欧洲数学的第一次复兴和大翻译运动，这些文献成为西方文艺复兴时期数学发展的基础。由于商业的发展，出现了复杂的运算，欧洲也出现了杰出的数学家，如意大利数学家斐波那契、英国数学家布雷德沃丁、法国数学家奥雷姆。总之，中世纪基督教世界的数学成就比古罗马要强好多，而这些数学成就的取得在很大程度上来自宗教的影响，这为伽利略、开普勒、牛顿他们开启的科学数学化创造了条件。
再次，近代科学是力量化的、操作化的和功利化的科学。西方科学是在古希腊科学基础之上发展而来的，但古希腊的科学具有非功利化目的，而近代西方的科学具有强烈的功利化目的。古希腊科学家喜欢仰望星空，探求自然的本源、规律问题，而对功利性科学研究不感兴趣。最有名的是数学家欧几里得，有学生问欧几里得研究几何学有什么用处，欧几里得马上对身边的奴隶说:“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这说明欧几里得是反对带着功利的目的学习数学的。在古希腊，带着非功利性目的学习数学、学习科学是社会普遍现象。古希腊人求知的目的不是出于利益的驱动，而是满足好奇心或兴趣。正因如此，毕达哥拉斯发现“毕达哥拉斯定理”后才会宰杀百头牛设宴庆祝，阿基米德发现浮力定律后才会发狂似的“裸奔”并高喊“尤里卡”。“正是超脱于功利，使得古希腊人在学术上能够超越尘世。古希腊数学完全是抽象的，这和一些其他古文明形成了鲜明的对照。也许正因如此，古希腊人对于改造世界并不像对认识世界一样热衷。他们对于世界和环境采取的是一种顺其自然与和谐的态度，对于未知世界的探索更多的是理解自己和周围的世界，以及让自己和周围的世界和睦相处。他们并不热衷于把在探索未知世界中获得的知识用于日常的功利目的。”古希腊人探求到的这些“无用知识”，竟然为西方科学打下了坚实的基础，一两千年后使整个人类受益匪浅。可以说，没有古希腊的科学成就就没有近现代的科学。
但是，近代科学与希腊古典科学有很大区别。古希腊的科学是理性的科学、自由的科学和纯粹的科学，是非功利的科学；而近代科学是力量化的、操作化的和功利化的科学。西方的科学为什么会发生这种转化呢？在这个转化过程中，弗朗西斯·培根和笛卡尔起了重要作用。
“知识就是力量”是弗朗西斯·培根在思想史上最有名的一句话，“它意味着追求力量、追求效率成为我们这个时代最重要的形而上学预设”，从此，“科学不再是一种沉思、一种静观，科学必定要诉诸行动。所以近代科学，不只是理论科学、理性科学，都最终要诉诸技术，诉诸力量。也就是说，近代科学和近代技术有着内在的不可分性”。培根提倡的科学重在动手做，注重观察、注重实验，把世界作为人的意志对象进行征服、利用。培根提倡的这种科学不是仰望星空、苦思冥想的科学，而是实验室的、需要人们操作的科学。由于这种实验室的科学在科学发展中的作用居功至伟，所以，近现代的社会自然就成为一个大实验室，整个社会生活、社会结构都按照实验室的要求进行了改造，人们都希望从社会这个大实验室里获得“科学成果”，实现社会的不断进步。所以，“现代社会科学越来越多地像自然科学那样去做研究，去搞设计，去定量分析，这一切都源于现代社会本身就是一个大实验室”。
笛卡尔在思想史上最有名的一句话无疑要数“我思故我在”。“我思”二字看起来简单，实际上意味着笛卡尔对世界作了重新安排。世界的本来面目，都要按照人的目光、人的理解去认识。“我思”表明这个思想不再是“神”的思想，而是人的思想。当然，这个人不是某个具体的人，而是大写的人，人的群体。神被剔除了，人就居于中心了，于是，近代科学就其本质来说是人类中心主义科学。一句“我思故我在”包含着“以人为本”思想，但笛卡尔的哲学还往前走了一大步，给出了“以人为本”思想的实施方案，即把世界数学化。数学是理性的化身，世界数学化了，神就不神了。古希腊人通过第一次数学危机，把几何、代数分开，认为代数是有瑕疵的，几何才完满，所以，古希腊的数学重点发展的是几何学，而代数学几乎停滞不前。笛卡尔作为数学家的重要贡献在于把几何学和代数学从两个相互独立的学科联系起来，成为一门新的学科，即解析几何。笛卡尔把物质归结为空间，把空间几何化，几何化的空间也就是数学化的世界。凡是能数学化的东西才有资格存在，不能数学化的东西是头脑中的幻想，属于必须抛弃的东西。
二、从定性到定量是法学研究走向科学化的关键
数学化是近现代科学发展的一大趋势，也是近现代科学取得重大成就的关键。法学要想进一步科学化，就必须不断地数学化。定性研究虽然是法学研究的重要一环，但法学问题的不断定量化才是法学不断走向科学化的关键。
（一）法学的定性研究与定量研究
近现代科学是注重数量的科学。“为了构成理论，特别是为了通过理论将事物的功能联系以数学的方式得到表达，应该避免单纯的关于质量的陈述，而应尽量使用数量陈述。”由于“数量陈述”在自然科学中取得了巨大成功，所以，社会科学也在积极引进“数量陈述”方法，在一些学科（如经济学）中已取得了成功。在别的社会科学领域内，虽然“数量陈述”的应用范围不能与自然科学相比，但已经取得了不少的成就。法学在“数量陈述”上也不甘落后，已经在许多方面采用了定量研究。所谓定量研究，是指对事物进行量的分析和研究，将问题和现象用数量来表示，从而获得意义的研究方法和过程。
与定量研究相对的是定性研究。国内学术界长期以来认为定性研究的概念应从哲学层面、思辨层面予以界定，所以，《中国大百科全书·社会学》给定性研究下的定义是:“根据社会现象或事物所具有的属性和在运动中的矛盾变化，从事物的内在规定性来研究事物的一种方法或角度。它以普遍确认的公理、一套演绎逻辑和大量的历史事实为分析基础，从事物的矛盾性出发，描述、阐释所研究的事物。”然而，从20世纪90年代末开始，国内学界对定性研究的概念有了新的界定，除了“定性研究”的概念外，还新出现了“质化研究”“质性研究”和“质的研究”的概念。有学者认为定性研究也叫质化研究、质性研究和质的研究，有学者认为定性研究与质化研究、质性研究和质的研究是不同的概念。认为定性研究与质化研究、质性研究和质的研究是不同概念的学者，仍然是在哲学层面、思辨层面界定定性研究。如陈向明就认为，定性研究“主要基于的是形而上学的、思辨的传统，而‘质的研究’主要遵循的是现象学的、阐释学的传统”。因此，这些学者认为质性研究的历史很短，大致从1900年起，发展历程只有一百多年。而认为定性研究等同于质化研究、质性研究和质的研究的学者，已经把质化研究、质性研究和质的研究的内容融入定性研究之中去了。其实，简言之，定性研究注重从质的方面研究事物，而定量研究注重从量的方面研究事物，本文主要从这方面理解定性研究和定量研究。
定性研究和定量研究两种研究方法都有非常悠久的历史，但由于科学发展的局限，在很长的历史时期，人们从事研究主要采用的是定性研究方法，而定量研究方法虽然也采用，但规模有限，尤其在自然科学研究中更是如此。亚里士多德的《物理学》一书中看不见一个数学公式、图表或数字，“他的主要目标是理解事物的本质，而不是去探讨适用于运动物体的时间—空间（或位置—时间）坐标等这些非本质因素之间的关系”。当然，亚里士多德对定量研究也有涉猎，但内容非常少，而且有不少错误，如认为两个不同重量的物体同时下落时，它们穿过给定距离所需的时间与它们的重量成反比。不过，在同时代，古希腊的科学是走在各国前面的，所以，古希腊人利用定量方法研究问题要比其他国家多，如毕达哥拉斯用数学研究谐音理论，留基伯、德谟克利特提出原子论把事物质的区别还原为量的差异，阿基米德用数学公式把杠杆原理、浮力定律表示出来，埃拉托色尼利用几何学测算地球周长，托勒密提出了一个计算天体位置的数学方案（宇宙结构学说）。可以说，“在几个特殊的科学领域里，希腊人成功地将它们数学化，并得出了高度量化的结论。这些领域是天文学、静力学、地理学、光学，它们不仅在古代世界达到了该领域最高水平，而且为近代科学的诞生起了示范作用”。这是古希腊人用定量方法研究自然科学、研究哲学的实例，研究法学的实例也有，如亚里士多德的《雅典政制》就是对当时希腊150多个城邦进行研究的基础上写出的，有定量研究的意味。亚里士多德对各国宪法进行了搜集，并作了比较研究。总体而言，在近代之前，由于科学的数学化还没深入人心，数学的发展程度有限，所以，在法学研究中人们主要采用的是定性研究方法，采用定量研究方法的虽然有，但毕竟不多。
（二）化质为量与近现代科学的兴起
弗兰西斯·培根尽管认为科学研究应该使用以观察和实验为基础的归纳法，推动了近现代科学的发展，但被公认为吹响近现代科学大发展号角的是伽利略。伽利略是欧洲近代自然科学的创始人，被称为“现代科学之父”。伽利略也是最早对动力学进行定量研究的人。美国学者M.克莱因指出:“近代科学成功的秘密，就在于在科学活动中选择了一个新的目标，这是由伽利略提出的，并为他的后继者们继续追求的新的目标，就是寻求对科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述。如果把近代科学中这一新概念与以前的科学活动进行比较，那么我们将会更加懂得科学中这一新概念的革命意义。”
在伽利略之前，希腊科学家寻求对现象发生的原因进行解释，如亚里士多德认为地上万物都有它的天然位置，且都有回到天然位置的趋向。土和水是重性的，天然位置在地球中心，往下运动就是回归其天然位置。气和火是轻性的，天然位置在天空，往天空运动就是回归其天然位置。中世纪欧洲学者探求的也是事情发生的原因，只不过增加了对现象的目的解释。如对下雨的解释就非常具有宗教意味:下雨的目的是浇灌庄稼，庄稼成熟后的目的是给人以食物，而人活着的目的是服务上帝。这样的解释自然没有一点“科技”含量，让人越听越糊涂。伽利略意识到必须对这种解释方法进行改革，要用对现象进行定量描述的方法予以取代。所谓对现象进行数学描述，就是用数学公式对所发生的事件进行描述，而不是对事件发生的因果关系进行解释。以往人们重视的是事件发生的因果关系，对事件发生过程采用的是定性研究，而伽利略毅然把这种关注重点改变了，让人们不再费力地进行物理解释，而是运用数学工具，用精确的数学语言对所发生的事件进行描述。于是，以往人们关注的本质、起源、形式、因果性、目的之类的概念因为不能量化而被时间、空间、速度、加速度、重量、力、惯性、能量等能量化的概念代替了。起初，人们觉得这种数学描述解释不了什么，没有物理解释具有“诗情画意”。但经过时间的检验，人们深深地认识到，“近代科学在实用方面和理论方面最激动人心的成就，主要是通过熟练地运用日积月累的定量的、描述的知识才获得的，而不是通过关于现象原因的形而上学的、神学的甚至是机械论的解释。近代科学的历史，就是逐渐摒弃上帝和恶魔，从而将关于光、声、力、化学过程以及其他概念的模糊思想转变为数量关系的历史”。可以说，牛顿的理论体系在物理解释方面是不过关的，因为牛顿对“引力”这一概念的物理本质解释不清，无法取得科学家的认同。但令人惊叹的是，所有自然现象的规律都可以从牛顿的运动定律和引力定律中推导出来，以前认为天空中不遵纪守法的彗星，现在通过牛顿的科学理论竟然算出了运动轨迹和运动周期；以前从不知道的天王星、冥王星也通过牛顿的科学理论计算出了方位、运动轨迹，进而从茫茫太空中寻找出来。这些铁的事实不得不让那些纠缠“引力”概念的人无话可说，转而成为牛顿科学理论的拥护者。不纠缠难以为人们理解的引力概念，而给出引力如何作用的定量公式，牛顿取得了成功，定量方法取得了决定性的胜利。自然或宇宙的数学设计理念从古希腊就有了，但到牛顿这里才有了确凿的证据，从而由臆测变为科学的理论。
可以说，
到了18世纪中叶，伽利略、开普勒、牛顿等科学家研究自然界所采用的定量方法已经在科学界确立了其无上地位，因为这种方法在探索自然界秘密方面太厉害了，远比传统的定性研究方法优越。数学的定量方法从改造天文学、物理学开始，然后改造了化学、生物学、地理学等自然科学诸学科，最后社会科学诸学科也被数学改造了。当然，由于各个学科各有其特点，数学对其改造的程度是不一样的，有些学科改造程度较深，有些学科改造程度较浅。随着数学不断地发展，各个学科会不断接受数学改造，数学化的步伐会不断加快。所以，伽利略、开普勒、牛顿之后，法学的数学化也加快了步伐。
三、对实证主义法学的数学分析
从前面的论述中我们知道，数学的定量研究方法是近现代科学取得飞跃发展的决定性因素。好的研究问题的方法各个学科是可以相互借鉴的，定量方法就是如此。虽然在伽利略之前，这种方法已经在研究中采用，但这种研究方法的威力人们尚未领略过，所以采用的人并不普遍。经过伽利略、牛顿这些科学家的示范，这种方法很快取得了巨大成功，影响扩及所有自然科学和社会科学的各个学科，包括法学。“自那场产生了现代科学的伟大革命以来，人们一直希望创建一门能与自然科学并驾齐驱的关于社会的科学。科学革命的两位早期主角伽利略和哈维使科学发生了根本转变，他们分别创建了关于运动的物理学和关于血液循环的生理学，这些学科均成为新社会科学的范式。培根和笛卡尔的科学准则可以作为这项新事业的指南。一个主要挑战是让新的社会科学与数学相适应……”
社会科学与数学怎么相适应呢？范式自然是采用数学的定量方法。从伽利略、开普勒、笛卡尔、牛顿以后，定量方法先在自然科学学科内后在社会科学学科内相继开始采用。当然，在社会科学学科内，经济学和社会学是采用定量方法比较多的学科。社会学起源于19世纪三四十年代，其鼻祖是孔德。孔德也是实证主义哲学的首倡者，认为自然科学的实证精神支配一切，强调社会科学与自然科学具有一致性，坚持应用自然科学的模式研究人类社会，寻求人类社会的普遍规律。涂尔干是社会学的奠基人之一，提出运用统计学方法寻找社会规律，而且确实找到了有关自杀现象的社会规律。实证主义方法对社会科学影响非常大，对法学的影响同样如此。在实证主义哲学的影响下，实证主义法学形成了。
美国学者M.克莱因指出:“一个时代的心态和社会思想、社会活动源自占主导地位的世界观。现在占主导地位的是我们的物理世界观。一个主要的信念叫作机械论，有时也称作唯物主义；它不但自身重要，而且还对其他的重要信条起支撑作用……既然我们自身是物理自然的组成部分，一切人性都应该根据物质、运动和数学来解释。”实证主义法学就是数学在科学中占据统治地位的情况下形成的，所以，它具有鲜明的数学特征；对之要进行深入研究，就必须从数学角度对其进行解读。实证主义孜孜探寻的是自然规律和社会规律，而“自然规律就是数学定律”。“科学现在给大自然所描绘的图像（看来只有这些图像能够与观察到的事实一致）是数学化的图像……大自然似乎精通纯数学的规则……不管怎么说这一点几乎是无可争辩的:大自然和我们的有意识的数学心智根据同样的规律来运作。”所谓社会规律不过是自然规律的模板，探寻社会规律自然离不开数学这个重要工具。
实证主义法学是在实证主义哲学的基础上形成的，而实证主义哲学离不开自然科学的实证精神，所以，实证主义法学的基本原理或者精神内核是与数学相通的，离不开数学的影响。我们从实证主义法学的观念中就可得到佐证:“如果试图将法理学变成一种科学，也即自然科学意义上的科学，我们只有观察在现实中人们通常是如何使用‘法’一词的，以及观察该词指称的对象是怎样存在的。这是经久不衰的实证理念。”实证主义法学的宏大理想就是期望把法律变为“自然科学意义上的科学”，而在通向“自然科学意义上的科学”过程中数学思维、数学精神、数学方法是须臾离不开的。通过对实证主义法学的主要观点、主要方法进行研究，不难发现，数学对实证主义法学的影响是非常深刻的。
（一）实证主义法学是一种描述性的法律理论
前已述及，伽利略主张在对自然现象进行研究时只描述不解释，牛顿正是本着这样的精神，把难缠的“引力”避过，取得了科学上的巨大成功。因为描述方法采用的是一种数学上的可描述性，是一种新的研究路径；解释方法采用的是亚里士多德以往使用的物理上的可解释性，是一种旧有的研究路径。用描述方法研究自然界时，人们注重的是广延、量、位置、运动、数、图形等这些用数学可以测度的性质；用解释方法研究自然界时，人们注重的是本质、起源、形式、因果性、目的之类无法用数学测度的性质。数学可以测度的性质具有客观性、真实性、普遍性，无法用数学可以测度的性质则具有主观性，不是物质的真实特性，不具有普遍性。实证主义法学的开创者对近代科学非常了解，所以，在创立实证主义法学时，也借鉴伽利略只描述不解释的做法，希冀在法学研究中取得自然科学那样的成就。“所谓描述性的法律理论，指的是法律实证主义试图通过对实在法的描述性分析来揭示法律体系的特征，并试图通过描述性理论来建构法的体系，从而使法律变成一门‘科学’。”“法律是什么”是一种描述，“法律应当是什么”则是一种价值判断、一种解释。实证主义法学的几位大佬，如奥斯丁、凯尔森、哈特等人都曾论述自己的理论是“描述性”的，这说明描述性的法律理论是实证主义法学的一个突出特征，是实证主义法学向数学学习的重要成果。实证主义法学注重事实判断，认定事实判断陈述的内容是对陈述对象本身的了解，因而都是描述性的判断。凯尔森说过:“约自20世纪初以来，人们提出了对另一种法律理论的要求。人们要求一种描述人实际上在做什么而不是他们应当做什么，正如物理学描述自然现象一样。他们声称，通过对实际社会生活的观察，人们可以而且也应该获得这种规则体系。它描述体现法律现象的人的实际行为。这些规则与自然科学以描述其对象的自然法则是同一类的。这就要求一种法律社会学（sociology of law），它根据‘实在的规则’，而不是应当的规则或‘纸面上的规则’来描述法律。”因此，“一个学科必然就其对象实际上是什么来加以描述，而不是从某种价值观念或标准出发来判断对象应该如何或不应该如何”。
（二）实证主义法学将研究对象限定于实在法领域
实证主义哲学的出现与近代科学的发展密切相关，因此，研究数学、物理学的牛顿也被人们称为实证主义者，甚至是“第一位伟大的实证主义者”；“由于他的工作，伟大的思辨体系的时代结束了，一个新的时代破晓而出，它充满了人对自然进行理性征服的严格性和希望”。从所作贡献来看，牛顿确实够得上“伟大的实证主义者”。虽然实证主义哲学是孔德创立的，但没有伽利略、牛顿这些耕耘者生产的“米”，孔德这样的“巧妇”是难以作出可口饭菜的。所以，从某种意义上来说，就其对实证主义哲学产生所作贡献来说，牛顿的功劳一点也不亚于孔德。牛顿的科学理论把上帝赶得无处躲藏，因为“人之外的世界好像只是一部巨大的机器:上帝好像在存在中被清扫出去了，除了那些无边无界的数学存在之外，他似乎无处安身”。在中世纪，上帝就是价值来源。如今，茫茫宇宙连上帝的存身之地都没有了，价值自然就没有托身之地了。更重要的是，自然界都数学化了，没有质的差别，只有量的不同。化质为量就是把质的差异抹平，把多样性消除。而价值是一种“质”，数学化的世界意味着要把价值这种“质”化掉。所以，不是孔德要搞“实证”，而是作为熟悉科学、熟悉数学的孔德要按科学、数学的要求把“实证”精神传扬天下，把带有主观色彩的价值湮灭掉。当然，实证主义法学摒除法的价值也与休谟的事实与价值区分理论有关，而休谟这一理论其实也与数学的影响有关。在休谟之前，伽利略等科学家为了避免不受假象的欺骗，就把物质分为第一性质和第二性质。物质的第一性质是物质的真实特性，由数学规律处理，具有客观性、绝对性，带有这些性质的有量、数、运动、位置、图形等等；物质的第二性质不是物质的真实特性，不能由数学规律处理，具有主观性、相对性，带有这些性质的有冷、热、气味、颜色、味道等等。休谟曾想“运用物理学的方法建立一门人性科学”，所以，他对自然科学的发展、对物质的这种分类是非常熟悉的。他的事实与价值区分理论同物质的第一性质和第二性质的划分理论是一脉相承的。
由于实证主义法学以数学、自然科学为榜样，追求客观性就成为题中应有之义。边沁指出，“法律实际如何”与“法律应当如何”是不同的，实证主义法学要拒斥形而上学。奥斯丁把法律和道德区分开，认为法理学关注的是实在法，主张“恶法亦法”。凯尔森认为自然法大多是一些空洞的公式，主张将自然法从法的概念中驱逐出去。凯尔森重视法律的形式和结构，轻视其道德内容和社会内容，认为规范的逻辑分析不受“正义”等道德色彩浓厚的观念束缚，法学应脱离意识形态的考量，避免对法律体系作价值判断。实证主义法学是在反对自然法学过程中产生的，坚决反对价值判断，因为价值判断所表达的是陈述者自己对事物的主观态度，多是规范性判断，这与实证主义法学秉持的科学精神、数学精神格格不入。当然，实证主义法学从创立到现今是不断发展变化的，对价值判断所持立场也是如此。有学者把法律实证主义分为包容的法律实证主义和排他的法律实证主义，包容的法律实证主义容许“将道德原则的考虑作为法律的一部分”。哈特在对待法律与道德分离问题上就持软化立场，前人认为是“必然分离”，他认为是“可以分离”。哈特或许是由于受过第二次世界大战血雨腥风的洗礼，对法西斯的暴行记忆犹新，所以，对价值判断就不忍痛下杀手，在继续坚持事实判断的同时，对价值判断仍然恋恋不舍。哈特以后的分析实证主义法学已经深深意识到单纯依靠分析实证主义方法是不可能让法律科学成为一门发达的科学，所以，必须借鉴其他法学流派的研究方法，使研究方法更加多元化。
（三）实证主义法学大多重视逻辑分析方法
逻辑分析方法是分析哲学采用的最主要的哲学方法。此种方法利用现代数理逻辑这一工具，对语言进行分析，以解决传统的哲学问题。分析哲学的基本思想见于德国哲学家、数学家、逻辑学家G.弗雷格的思想中。G.弗雷格是现代数理逻辑的主要创始人，也是分析哲学的奠基者。弗雷格将数学建立在逻辑基础之上，使之从逻辑上彻底脱离感性经验和心理活动。弗雷格建立了世界上第一个严格的关于逻辑规律的公理化系统。除了弗雷格外，分析哲学的创始人还有罗素、摩尔、维特根斯坦等人。数理逻辑的发展为“逻辑分析方法的运用和人工语言建立提供了可能，即运用数理逻辑的符号演算，运用类、关系、顺序等概念，对命题进行准确的、经验意义的表述，从而建立一种人工的描述语言系统”。不难看出，逻辑分析方法是与数学紧密相连的，采用这种分析方法的实证主义法学自然也与数学紧密相连。凯尔森的法学理论的哲学基础是新康德主义哲学，赫尔曼·柯亨是新康德主义马尔堡学派创始人，对于凯尔森的法学理论影响深远。赫尔曼·柯亨把数作为纯粹思维的产物，而纯粹思维利用数学和逻辑创造对象世界。凯尔森继承柯亨的衣钵，尝试用逻辑公理化的方法建立法律规范的逻辑。哈特认为司法决定过程从本质上讲是理性的事业，主要依赖的是演绎逻辑，直觉所起作用不大。演绎逻辑采用的是演绎法，而演绎法是数学的基本方法，最初也是在研究数学中创立的。公理化的方法是在演绎法基础上形成的一种数学方法，对于人类理性思维的发展起了非常重要的推动作用。
（四）实证主义法学重视对法律现象进行量化分析
实证主义法学从19世纪20年代至30年代创立后，迄今已快两百年，流派众多，观点纷呈。除了重视对法律现象进行逻辑分析外，对法律现象进行定量分析也是其研究的重要特点。
前文已经说过，亚里士多德在著作中曾运用定量分析方法研究希腊城邦中的法律问题，但亚里士多德以降的一千多年，定量分析方法在法学研究中并不常用，
研究人员常用的方法是定性分析方法。直到伽利略、开普勒、笛卡尔、牛顿等科学家实现了从定性分析方法到定量分析方法的转向后，对法学研究采用定量分析方法才逐渐多起来。化质为量是从17世纪开始出现的，到了18世纪，已经在许多自然科学学科中运用；到了19世纪，社会科学学科接受这一观念的越来越多。延续至今，化质为量作为一种文化发展趋势方兴未艾。尤其是大数据时代，“一切皆可量化”成为一个响亮的口号，在许多领域内已变为现实。可以说，实证主义法学是法学中推动化质为量的重要力量。
实证主义法学的关键词是“实证”。“实证”，强调感觉经验，重视对现象的研究，认为通过对现象的归纳就可以得到科学理论或科学定律。要进行法学实证研究，就需要进行调查、观察，甚至实验，将得到的资料进行统计分析，从中发现问题，寻求其中的规律性。那么，法律现象如何量化呢？一个可行的途径是建立法律现象的指标体系。法律指标是一种特殊的社会指标，是反映法律现象数量化特征的指标。所以，采用法律指标的方法研究法律现象是符合实证主义法学的理论要求的。法律指标是一种量的数据，这种量的数据在世界各国被广泛采用。在现今的中国，对法律现象进行量化分析已经很普遍，每年都有许多学者在做不同部门、不同行业的法律指标编制，这对促进我国的法治进程具有重要意义。如张保生带领团队在全国问卷调查数据统计基础上，经过分析，写出了《中国司法文明指数报告》。从2014年开始，每年出版一卷。目前，“中国司法文明指数报告”已经成为评估中国法治发展水平的一个重要量化工具，是体现人民群众对司法工作满意度的一个重要指示器。
在历史上，社会上公开的法律数据是不多的，“数目字管理”也是在很晚的时期才在西方出现。近代科学重视定量分析，实证主义哲学也是在近代科学的基础上发展起来的，所以，重视定量分析是实证主义哲学的重要特征。建立在实证主义哲学之上的实证主义法学秉承实证主义哲学的特征，同样重视定量分析，重视对法律现象进行量化分析。
实证主义法学的代表人物由于偏向法理学的研究，虽然其法学理论包含着量化的色彩，深受数学精神的影响，但在研究过程中数学色彩最浓的要数美国学者布莱克建构的理论。布莱克是实证主义法学的一员大将，在《法律的运作行为》一书中，他像研究自然现象那样研究法律现象。诚如季卫东教授所言:“他通过把定性问题转化为定量问题的研究战略，排除了文化、人性及其他一切规范性前提。其结果，可以说他的命题群构成了一个自明的常识体系或者公理体系。”我们知道，数学分为常量数学和变量数学，常量数学描写的是静态的事物，变量数学描写的是动态的事物。变量数学的标志是解析几何的诞生和微积分的建立。解析几何和微积分都离不开函数，函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的关键，用联系的、变化的观点建立各变量之间的关系，使数学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物之间的相互联系。布莱克也把法律像数学那样进行研究，声称:“法律是一个变量。它可以增减，在一种条件下比在另一种条件下要多。法律的量可以用多种方式测定……法律上的任何提起、诉诸或适用都意味着法律的量的增加。甚至某人主动伏法，诸如投案、招供、认罪也都增加法律的量。”布莱克把社会生活分为五个方面，即分层、形态、文化、组织性和社会控制。这几方面都有多种表现形式，都随着时间和空间而增多和减少。对法进行如此的量化处理，其目的在于告诉人们:法律并非一盘要么全输要么全赢的零和博弈，法的结果是可变通的；法更具有操作性，因为法的主体是明确的，责任自然也是明确的。布莱克这本书被认为是对实证主义法学的总结，创造性地将数学引入法社会学研究之中，在实证主义法学论著中是与数学结合的最为紧密的一本书。
在实证主义法学影响下，许多人在法学研究中都曾采用量化分析方法，取得了丰硕的成果。意大利实证主义犯罪学学派创始人切萨雷·龙勃罗梭运用人类学的研究方法，对犯罪人的身体特征进行了大量的实证分析，研究犯罪人类型、犯罪原因和特别预防等问题，“导致了将近代科学的实证方法、归纳方法应用于犯罪问题的伟大运动，他比任何其他人都更加有力地促进了新的犯罪学科学的发展”，“如果没有实证学派，不但现在的犯罪学研究以及当代一些用作代替死刑和传统式监禁的办法，如缓刑、缓期执行、罚金、假释，都将是不可想象的”。在《犯罪人论》一书中，龙勃罗梭先后对101个意大利犯罪人头骨进行了解剖研究，对1279名意大利罪犯的人体进行了测量、对相貌进行了分析，得出了天生犯罪人的著名论断。他对天生犯罪人的身体特征、感觉和功能特征、心理、道德感等特征进行研究，确定了天生犯罪人具有的特征。尽管由于各种原因，龙勃罗梭的研究成果存在不少缺陷，但他将实证研究方法引入犯罪学中，引起了一场方法论革命，对近代刑事法律的改革和刑事司法制定的确立都产生了不可估量的影响。
在19世纪，实证主义犯罪学著名学者还有加罗法洛和菲利。加罗法洛和菲利都是龙勃罗梭的学生，都属实证主义犯罪学派，不同的是菲利后期转入刑事社会学派，与德国刑法学家李斯特一起成为刑事社会学派的代表人物。加罗法洛有关刑法的定义是一种形式主义的定义。加罗法洛继承龙勃罗梭的衣钵，对犯罪人进行人类学研究，认为犯罪人具有异常的身体和生理的特征。加罗法洛还对犯罪人进行了观相学方面的研究，认为存在着将杀人犯与盗窃犯区分开来，将杀人犯、盗窃犯与暴力犯或冲动犯区别开来的相貌。加罗法洛通过研究，提出了自然犯罪理论，这是其对犯罪理论的最大贡献。菲利早在法国留学期间就曾著有《法兰西1826—1879年的犯罪之研究》一书。该书对犯罪进行了统计学方面的研究，在当时的法国颇有影响。菲利出版有《犯罪社会学》《刑事实证学派》等书，被公认为是刑事实证学派的领袖。菲利在对犯罪人的研究中，采用实证调查方法，大量占有数据，得出的结论具有相当的科学性。
在现代犯罪学发展史上，法国学者的贡献也不小。法国司法部从1826年开始公布的《刑事司法统计》，为许多犯罪学学者进行量化研究提供了方便，凯特勒与格雷在此基础上首创了犯罪统计学。法国学者A.M.盖里依据法国司法部在1825—1830年公布的统计资料，对犯罪现象进行了统计学分析，认为25岁到30岁是犯罪的高峰时段。法国的塔尔德担任过司法部统计局局长，他的犯罪学研究的许多理论都有数据支撑。总之，“西方现代犯罪学研究能取得今天的辉煌成就，首先应归功于其研究方法的科学实证性。一种理论往往经过十几年甚至几十年的跟踪调查，通过分析归纳数以万计的统计数据而得出”。
综上所述，实证主义法学从创立到如今，已经快200年的历史了。虽然遇到过不少诘难，但总的来说，发展是顺利的，而且几经辉煌，影响颇大。实证主义法学之所以影响巨大，基本理论屹立不倒，一个重要的原因在于它的理论基石是建立在科学、数学基础之上的。数学对法律文化的影响已有数千年，但就其影响的规模和深度来说，还要数最近几百年。数学是理性的化身，无论是自然科学还是社会科学，在其发展过程中，数学都起到了引领作用。实证主义法学在理论的构成、变化和发展过程中，数学都深深地参与其中。所以，要理解实证主义法学，就必须从数学角度进行解读。在我国，从数学角度研究法律文化的学者越来越多，研究的深度不断增加，广度不断拓宽。尤其是近几年，由于互联网、大数据、人工智能、区块链等的飞速发展，数学与法律的联系日益紧密。作为一个重要的法学流派，实证主义法学在数字时代的发展前景会更加广阔。在实证主义法学形成之日，数学起过重要作用；在实证主义法学发展之时，数学同样会起重要作用。
何柏生，江西师范大学政法学院教授，法学博士。
来源：《法治现代化研究》2022年第4期，注释略，引用请以发表版为准
